数学_线性代数

Qin Yang
阅读量:
目录

标量

一个标量就是一个数，只有大小，没有方向。比如，体重，身高等，通常由小写字母表示。

向量

一组标量排列而成（一行或一列），向量只有一个轴，沿着行或者列的方向。 例如：

  • 行向量：$\mathbf{v} = [1, 2, 3]$
  • 列向量：$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix}$

向量中的每个元素可以通过下标访问，如 $\mathbf{v}_1$ 表示第一个元素（在数学中通常从1开始计数）。

模长

向量的模长：可以简称为向量的模，英文norm。模长是向量在空间中的长度，通常用于欧几里得空间（即我们常见的几何空间）。

二维向量模长公式： 对于向量 $\mathbf{v} = [x, y]$，其模长为： $$ |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} $$

n维向量模长公式： 对于向量 $\mathbf{v} = [v_1, v_2, …, v_n]$，其模长为： $$ |\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n v_i^2} $$

范数

  • 范数是模长的推广，可以定义更一般的向量长度。
  • 欧几里得范数（即模长）是范数的一种特例，称为 $L_2$ 范数。
  • 其他常见的范数包括：
    • $L_1$ 范数（曼哈顿范数）：$|\mathbf{v}|_1 = |v_1| + |v_2| + \cdots + |v_n|$
    • $L_\infty$ 范数（最大值范数）：$|\mathbf{v}|_\infty = \max(|v_1|, |v_2|, \dots, |v_n|)$

关系：

  • 模长是范数的一种具体形式（$L_2$ 范数）。
  • 范数是一个更广泛的概念，可以适用于不同的数学场景，而模长通常特指欧几里得空间中的向量长度。

总结来说，模长是范数的一种特例，而范数是模长的推广。

单位向量

模长固定为1的向量，就是单位向量，用来表示空间中的方向。

二维向量单位化公式： 对于向量 $\mathbf{v} = [x, y]$，其单位向量为： $$ \mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \left[ \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right] $$

n维向量单位化公式： 对于向量 $\mathbf{v} = [v_1, v_2, …, v_n]$，其单位向量为： $$ \mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \left[ \frac{v_1}{\sqrt{\sum_{i=1}^n v_i^2}}, \frac{v_2}{\sqrt{\sum_{i=1}^n v_i^2}}, \dots, \frac{v_n}{\sqrt{\sum_{i=1}^n v_i^2}} \right] $$

示例： 二维向量 $\mathbf{v} = [3, 4]$ 的单位向量计算： $$ |\mathbf{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \ \mathbf{u} = \left[ \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right] = [0.6, 0.8] $$

向量的内积

内积（Inner Product）：也称点乘，点积，结果是一个标量。

二维向量内积公式： 对于向量 $\mathbf{a} = [a_1, a_2]$ 和 $\mathbf{b} = [b_1, b_2]$，其内积为： $$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 $$

n维向量内积公式： 对于向量 $\mathbf{a} = [a_1, a_2, …, a_n]$ 和 $\mathbf{b} = [b_1, b_2, …, b_n]$，其内积为： $$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n $$

几何意义：

  • 内积可以表示为：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta$，其中 $\theta$ 是两向量夹角
  • 当两向量正交（垂直）时，内积为0
  • 内积结果的正负可以反映两向量的方向关系

示例： 计算向量 $\mathbf{a} = [1, 2]$ 和 $\mathbf{b} = [3, 4]$ 的内积： $$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \times 3 + 2 \times 4 = 3 + 8 = 11 $$

向量的外积

外积（Outer Product）：也称叉乘，叉积，结果是一个向量。

二维向量外积公式： 对于向量 $\mathbf{a} = [a_1, a_2]$ 和 $\mathbf{b} = [b_1, b_2]$，其外积为： $$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = a_1b_2 - a_2b_1 $$

三维向量外积公式： 对于向量 $\mathbf{a} = [a_1, a_2, a_3]$ 和 $\mathbf{b} = [b_1, b_2, b_3]$，其外积为： $$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \ \end{vmatrix} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k} $$

几何意义：

  • 外积结果是一个垂直于原向量所在平面的向量
  • 外积的模长等于两向量构成的平行四边形的面积
  • 在二维情况下，外积结果是一个标量，表示有向面积
  • 在三维情况下，外积结果是一个向量，方向由右手定则确定

示例：

  1. 二维向量 $\mathbf{a} = [1, 2]$ 和 $\mathbf{b} = [3, 4]$ 的外积： $$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = 1 \times 4 - 2 \times 3 = 4 - 6 = -2 $$

  2. 三维向量 $\mathbf{a} = [1, 0, 0]$ 和 $\mathbf{b} = [0, 1, 0]$ 的外积： $$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ \end{vmatrix} = (0 \times 0 - 0 \times 1)\mathbf{i} - (1 \times 0 - 0 \times 0)\mathbf{j} + (1 \times 1 - 0 \times 0)\mathbf{k} = [0, 0, 1] $$

矩阵

矩阵是二维数据结构，每个数字在矩阵中都有一个对应的行号和列号。

矩阵的装置

矩阵乘法

矩阵乘法（Matrix Multiplication）：两个矩阵相乘需要满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

定义： 对于矩阵 $A_{m \times n}$ 和 $B_{n \times p}$，其乘积 $C = AB$ 是一个 $m \times p$ 的矩阵，其中： $$ C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj} \quad (i=1,…,m; j=1,…,p) $$

计算步骤：

  1. 确认矩阵A的列数等于矩阵B的行数
  2. 结果矩阵C的行数等于A的行数，列数等于B的列数
  3. 计算C的每个元素：C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列的点积

性质：

  • 不满足交换律：$AB \neq BA$（一般情况下）
  • 满足结合律：$(AB)C = A(BC)$
  • 满足分配律：$A(B+C) = AB + AC$
  • 单位矩阵乘法：$AI = IA = A$

示例：

  1. 矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$ 和 $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix}$ 的乘积： $$ AB = \begin{bmatrix} 1 \times 5 + 2 \times 7 & 1 \times 6 + 2 \times 8 \ 3 \times 5 + 4 \times 7 & 3 \times 6 + 4 \times 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \ 43 & 50 \end{bmatrix} $$

  2. 非方阵乘法 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ 和 $B = \begin{bmatrix} 4 \ 5 \ 6 \end{bmatrix}$ 的乘积： $$ AB = \begin{bmatrix} 1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 32 \end{bmatrix} $$

张量

张量是多维数组的抽象概括，可以看作是向量和矩阵的推广。