数学_矩阵的转置

矩阵的转置是将原矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

计算步骤

1. 确定原矩阵的行和列：假设原矩阵为 $m \times n$（m行，n列）
2. 创建新矩阵，维度为$n \times m$（n行， m列）
3. 交换行和列
   • 原矩阵的第 i 行 → 转置矩阵的第 i 列。
   • 原矩阵的第 j 行 → 转置矩阵的第 j 列。
4. 填充元素：将原矩阵的每个元素 $A[i][j]$ 放到转置矩阵的$A^T[j][i]$位置

示例

示例1：2×3矩阵的转置

原矩阵 $A$：

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ \end{bmatrix} $$

转置后的矩阵 $A^T$：

$$ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \ 2 & 5 \ 3 & 6 \ \end{bmatrix} $$

原矩阵的第1行 $[1, 2, 3]$ 变为转置矩阵的第1列。

原矩阵的第2行 $[4, 5, 6]$ 变为转置矩阵的第2列。

示例2：3×3方阵的转置

原矩阵 $B$：

$$ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \ \end{bmatrix} $$

转置后的矩阵 $B^T$：

$$ B^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \ 2 & 5 & 8 \ 3 & 6 & 9 \ \end{bmatrix} $$

主对角线上的元素$(1, 5, 9)$位置不变。

转置的性质

双重转置：$(A^T)^T = A$

加法转置：$(A+B)^T = A^T + B^T$

数乘转置：$(kA)^T = kA^T \quad (k \text{为常数})$

乘法转置：$(AB)^T = B^T A^T$

对称矩阵：若 $A^T = A$，则 $A$ 是对称矩阵。

Python实现

import numpy as np

# 创建2行 x 3列的矩阵
A = np.array([1,2,3],[4,5,6])
# 计算转置
A_T = A.T  # 或 np.transpose(A)
print("原矩阵：\n", A)
print("转置矩阵：\n", A_T)